Question

已知是半圓的直徑, 點在的延長線上運動(點與點不重合), 以為直徑的半圓與半圓交于點的平分線與半圓交于點.
如圖甲, 求證: 是半圓的切線;
如圖乙, 作于點, 猜想與已有的哪條線段的一半相等, 并加以證明;
如圖丙, 在上述條件下, 過點作的平行線交于點, 當與半圓相切時, 求

甲                                乙                                 
的正切值.

Answer 1

角度轉換；三角形全等的變換；3

試題分析：(1) 如圖甲, 連接, 則為半圓的半徑, 而為半圓的直徑, 所以,
即是半圓的切線;
(2) 猜想: .
證1: 如圖乙, 以為直徑作⊙, 延長交⊙于點,連接,
∵, ∴∵平分, ∴,
∴, ∴;

甲                        乙                        丙                     丁
證2: 如圖丙, 連接相交于點. ∵平分, ∴,
∴, ∴可證, ∴;
(3) 如圖丁, 延長交于點, 設, 則,
∵四邊形是矩形, ∴, 同(2)證法是中點,
∴是中點, ∴,
可證∽, ∴, 即, 解得或.
當時, 點與點重合, 舍去; 當時, .
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．