Question

如圖,⊙O經過菱形ABCD的三個頂點A、C、D,且與AB相切于點A.

（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）求∠B的度數．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）∠ABC =60°．

試題分析：（1）連結OA、OB、OC、BD,根據切線的性質得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根據菱形的性質得BA=BC,然后根據“SSS”可判斷△ABO≌△CBO,則∠BCO=∠BAO=90°,于是可根據切線的判定方法即可得到結論；
（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB,則∠AOB=∠COB,由于菱形的對角線平分對角,所以點O在BD上,利用三角形外角性質有∠BOC=∠ODC+∠OCD,則∠BOC=2∠ODC,由于CB=CD,∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根據∠BOC+∠OBC=90°可計算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC計算．
試題解析：（1）連結OA、OB、OC、BD,如圖,

∵AB與⊙O切于A點,
∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴BA=BC,
在△ABO和△CBO中
,
∴△ABO≌△CBO（SSS）,
∴∠BCO=∠BAO=90°,
∴OC⊥BC,
∴BC為⊙O的切線；
（2）∵△ABO≌△CBO,
∴∠AOB=∠COB,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴BD平分∠ABC,DA=DC,
∴點O在BD上,
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠BOC=2∠ODC,
同理：∠BOC=2∠OBC,
∵∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴∠ABC=2∠OBC=60°．