Question

如圖，直線y=kx+6與x、y軸分別交于E、F．點E坐標為（-8，0），點A的坐標為（-6，0），P（x，y）是直線y=kx+6上的一個動點．
（1）求k的值；
（2）若點P是第二象限內的直線上的一個動點，當點P運動過程中，試寫出三角形OPA的面積S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探究：當P運動到什么位置時，三角形OPA的面積為

27

8

，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點E的坐標（-8，0）代入直線y=kx+6，得到關于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）由點A的坐標為（-6，0）得到OA=6，求△OPA的面積時，可看作以OA為底邊，高是P點的縱坐標的絕對值．再根據三角形的面積公式表示出△OPA的面積，從而求出其關系式；根據P點運動的范圍可求出自變量x的取值范圍；
（3）根據三角形的面積公式，由△OPA的面積為

27

8

，列出關于點P的縱坐標y的方程，解方程求出y的值，再代入直線的解析式求出x的值，即可得到P點的坐標．

解答：解：（1）∵點E（-8，0）在直線y=kx+6上，
∴0=-8k+6，
∴k=

3

4

；

（2）∵k=

3

4

，
∴直線的解析式為：y=

3

4

x+6，
∵點P（x，y）是第二象限內的直線y=

3

4

x+6上的一個動點，
∴y=

3

4

x+6＞0，-8＜x＜0．
∵點A的坐標為（-6，0），
∴OA=6，
∴S=

1

2

OA•|y_P|=

1

2

×6×（

3

4

x+6）=

9

4

x+18．
∴三角形OPA的面積S與x的函數關系式為：S=

9

4

x+18（-8＜x＜0）；

（3）∵三角形OPA的面積=

1

2

OA•|y_P|=

27

8

，P（x，y），
∴

1

2

×6×|y|=

27

8

，
解得|y|=

9

8

，
∴y=±

9

8

．
當y=

9

8

時，

9

8

=

3

4

x+6，
解得x=-

13

2

，故P（-

13

2

，

9

8

）；
當y=-

9

8

時，-

9

8

=

3

4

x+6，
解得x=-

19

2

，故P（-

19

2

，-

9

8

）；
綜上可知，當點P的坐標為P（-

13

2

，

9

8

）或P（-

19

2

，-

9

8

）時，三角形OPA的面積為

27

8

．

點評：本題是一次函數的綜合題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征，三角形面積公式的運用，難度適中．注意第三問中的點P（x，y）是直線y=kx+6上的一個動點，不能直接代入第二問所求的函數解析式，否則漏解，這是本題容易弄錯的地方．