Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，現給出以下四個結論：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四邊形AEPF＝S△ABC；（4）當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時始終有EF＝AP．（點E不與A、B重合），上述結論中是正確的結論的概率是（　　）

A.1個B.3個C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到選項A，B，C都是正確的，當EF＝AP始終相等時，可推出，由AP的長為定值，而PF的長為變化值可知選項D不正確．從而求出正確的結論的概率．

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，點P是BC的中點，

∴，．

（1）在△AEP與△CFP中，

∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，

∴△AEP≌△CFP

∴AE＝CF．（1）正確；

（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，

∴PE＝PF，

又∵∠EPF＝90°，

∴△EPF是等腰直角三角形．（2）正確；

（3）∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．

∴．（3）正確；

（4）當EF＝AP始終相等時，由勾股定理可得：

則有：，

∵AP的長為定值，而PF的長為變化值，

∴與不可能始終相等，

即EF與AP不可能始終相等，（4）錯誤，

綜上所述，正確的個數有3個，

故正確的結論的概率是．

故選：D．