Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．

（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；
（2）若BE=，BD=1，求△DEC外接圓的直徑．

Answer 1

（1）根據線段垂直平分線的性質由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圓周角定理得到DC為△DEC外接圓的直徑；取DC的中點O，連接OE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質得EB=EC，∠C=∠EBC=30°，則∠EOC=2∠C=60°，可計算出∠BEO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論。
（2）2

分析：（1）根據線段垂直平分線的性質由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圓周角定理得到DC為△DEC外接圓的直徑；取DC的中點O，連接OE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質得EB=EC，∠C=∠EBC=30°，則∠EOC=2∠C=60°，可計算出∠BEO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論。
（2）由BE為Rt△ABC斜上的中線得到AE=EC=BE=，易證得Rt△CED∽Rt△CBA，則，然后利用相似比可計算出△DEC外接圓的直徑CD。
解：（1）證明：∵DE垂直平分AC，∴∠DEC=90°，AE=CE。
∴DC為△DEC外接圓的直徑。
如圖，取DC的中點O，連接OE，

∵∠ABC=90°，
∴BE為Rt△ABC斜上的中線。∴EB=EC。
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOC=2∠C=60°。∴∠BEO=90°。∴OD⊥BE。
∵BE為⊙O的半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。
（2）∵BE為Rt△ABC斜上的中線，∴AE=EC=BE=。∴AC=2。
∵∠ECD=∠BCA，∴Rt△CED∽Rt△CBA。∴。
∵CB=CD+BD=CD+1，∴，解得CD=2或CD=﹣3（舍去）。
∴△DEC外接圓的直徑為2。