Question

【題目】蘇科版九年級下冊數學課本65頁有這樣一道習題：

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．

（1）△ACD與△CBD相似嗎？為什么？

（2）圖中還有幾對相似三角形？是哪幾對？

復習時，小明提出了新的發現：“利用△ACD∽△CBD∽△ABC可以進一步證明：

①CD2=ADBD，②BC2=BDAB，③AC2=ADAB．”

（1）請你按照小明的思路，選擇①、②、③中的一個進行證明；

（2）小亮研究“小明的發現”時，又驚喜地發現，利用“它”可以證明“勾股定理”，請你按照小亮思路完成這個證明；

（3）小麗也由小明發現的“CD2=ADBD”，進一步發現：“已知線段a、b，可以用尺規作圖作出線段c，使c2=ab”，請你完成小麗的發現．（不要求寫出作法，請保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）利用相似三角形的性質即可證明；

（2）利用（1）中結論，可得BC2=BDAB，AC2=ADAB

推出BC2+AC2=BDAB+ADAB=AB（BD+AD）=ABAB=AB2；

（3）作以a+b為直徑的圓即可解決問題；

（1）證明：∵△ACD∽△CBD

∴=，

∴CD2=ADBD．

其余證明方法類似．

（2）證明：∵BC2=BDAB，AC2=ADAB

∴BC2+AC2=BDAB+ADAB

=AB（BD+AD）

=ABAB=AB2

∴BC2+AC2=AB2

（3）如圖，線段c即為所求；