Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，AC與BD，相交于點O，點E、F是直線AD上兩動點，且AE=DF，CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G，連接AG，直線AG交BE于點H．

（1）如圖1，當點E、F在線段AD上時，求證：∠DAG=∠DCG；

（2）如圖1，猜想AG與BE的位置關系，并加以證明；

（3）如圖2，在（2）條件下，連接HO，試說明HO平分∠BHG．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）AG⊥BE（3）證明見解析

【解析】

（1）根據正方形的性質得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，則可根據“SAS”證明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；

（2）根據正方形的性質得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根據“SAS”證明△ABE≌△DCF，則∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判斷AG⊥BE；

（3）如答圖1所示，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，證明△AON≌△BOM，可得四邊形OMHN為正方形，因此HO平分∠BHG結論成立.

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

（2）解：AG⊥BE．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠ABE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（3）解：由（2）可知AG⊥BE．

如答圖1所示，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，則四邊形OMHN為矩形．

∴∠MON=90°，

又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OAN=∠OBM．

在△AON與△BOM中，

，

∴△AON≌△BOM（AAS）．

∴OM=ON，

∴矩形OMHN為正方形，

∴HO平分∠BHG．