Question

【題目】如圖，己知點C是線段BD上一點，以BC、 DC為一邊在BD的同一側作等邊△ABC和等邊△ECD,連接AD, BE相交于點F, AC和BE交于點M, AD, CE交于點N,(注：等邊三角形的每一個內角都等于60° )

(1) 求證： AD=BE

(2) 線段CM與CN相等嗎?請證明你的結論。

(3) 求∠BFD的度數。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）BM=AN 理由見解析；（3）120°.

【解析】

（1）根據已知條件易證△ACD≌△BCE，即可證明AD=BE；

（2）易證△BCM≌△ACN，即可進行判斷；

（3）根據△ACD≌△BCE,∠EBC+∠ADC=∠EBC+∠BEC=∠ECD=60°，故根據△BDF的內角和即可求解.

（1）證明：∵△ABC、△DCE均是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCE=∠ACD，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BD=AE；

（2）∵△ACD≌△BCE

∴∠CBM=∠CAN

∵∠BCM=∠ECD=60°，∴∠ACN=60°，

又BC=AC

∴△BCM≌△ACN (ASA)

∴BM=AN.

（3）∵△ACD≌△BCE,

∴∠EBC+∠ADC=∠EBC+∠BEC=∠ECD=60°，

∴在△BDF中∠BFD=180°-(∠EBC+∠ADC)=120°.