Question

如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由題設條件，請寫出三個正確結論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結論過程中添加的字母和輔助線不能出現在結論中，不必證明）
答：結論一：        ；結論二：         ；結論三：          ．
（2）若∠B=45°，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結論，須加以證明）

Answer 1

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②1或2－.

試題分析：（1）根據平面圖形的基本性質結合圖形特征即可得到結果；
（2）①先證得△ACB為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形可求得AC的長，證得△ADE∽△ACD，根據相似三角形的性質可得到，再根據垂線段最短的性質求解即可；
②分當AD=AE時，當EA=ED時，當DA=DE時，這三種情況，根據等腰三角形的性質、垂直平分線的性質、相似三角形的性質求解即可.
（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB為等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD。
∴AD：AC=AE：AD，
∴ 
當AD最小時， AE最小，此時AD⊥BC（直線外一點與直線上所有點的連線段中垂線段最短），AD=BC=1。
∴AE的最小值為
∴CE的最大值=；
②當AD=AE時，
∴∠1=∠AED=45°
∴∠DAE=90°
∴點D與B重合，不合題意舍去
當EA=ED時，如圖1

∴∠EAD=∠1=45°
∴AD平分∠BAC
∴AD垂直平分BC
∴BD=1。
當DA=DE時，如圖2

∵△ADE∽△ACD
∴DA：AC=DE：DC
∴DC=CA=
∴BD=BC－DC=2－
綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，BD的長的長為1或2－.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，是中考常見題，一般以壓軸題形式出現，要特別注意.