Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，并且BD=4，AC=6，BC= ．

（1）AC與BD有什么位置關(guān)系？為什么？
（2）四邊形ABCD是菱形嗎？為什么．

Answer 1

【答案】
（1）解：結(jié)論：AC⊥BD．

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=DO=2，AO=CO=3，

∵BC= ，

∴BO2+CO2=CB2，

∴∠BOC=90°，

∴BD⊥AC，

（2）解：是菱形．理由如下：

∵BD⊥AC，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形．

【解析】（1）題中已知平行四邊形的兩對(duì)角線的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求出OB、OC的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理證明△BOC是直角三角形，即可得出結(jié)論。
（2）由（1）的結(jié)論BD⊥AC及已知四邊形ABCD是平行四邊形，可證明四邊形ABCD是菱形。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，需要了解如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分才能得出正確答案．