Question

【題目】問題背景：在中，邊上的動點由向運動（與，不重合），點與點同時出發，由點沿的延長線方向運動（不與重合），連結交于點，點是線段上一點.

（1）初步嘗試：如圖，若是等邊三角形，，且點，的運動速度相等，求證：.

小王同學發現可以由以下兩種思路解決此問題：

思路一：過點作，交于點，先證，再證，從而證得結論成立；

思路二：過點作，交的延長線于點，先證，再證，從而證得結論成立.

請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評分）

（2）類比探究：如圖，若在中，，，且點，的運動速度之比是，求的值；

（3）延伸拓展：如圖，若在中，，，記，且點、的運動速度相等，試用含的代數式表示（直接寫出結果，不必寫解答過程）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證明△ADG是等邊三角形，得出GD=AD=CE，再證明GH=AH，由ASA證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結論；

（2）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出AH=GH=GD，AD=GD，由題意AD=CE，得出GD=CE，再證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結論；

（3）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出DG=DH=AH，再證明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出，△DGH∽△ABC，得出，證明△DFG∽△EFC，得出，，即可得出結果．

解：（1）證明：選擇思路一：

如題圖1，過點作，交于點，

∵是等邊三角形，∴，.

∴是等邊三角形.∴.

∵，∴.

∵，∴，.

∴.∴.

∴，即.

（2）如圖2，過點作，交于點，

則，

∵，∴.

∴，.

由題意可知，，∴.

∵，∴，.

∴.∴.

∴，即.

∴.

（3），理由如下：

過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖3所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，
∵∠ADH=∠BAC=36°，
∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，
∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

，

∴△DGH∽△ABC，

，

，

∵DG∥BC，
∴△DFG∽△EFC，

，

，

即，

，

.