Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，滿足f（x）+f（y）=f（x•y）．
（1）求證：f（x）-f（y）=f(

x

y

)；
（2）若f（2）=-3，解不等式f（1）-f（

1

x-8

）≥-9．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據f（x）+f（y）=f（xy），將x代換為

x

y

，代入恒等式中，即可證明；
（2）再利用f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，即可列出關于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式的解集．

解答： 解：（1）證明：∵f（x）+f（y）=f（xy），
將x代換為為

x

y

，則有f（

x

y

）+f（y）=f（

x

y

•y）=f（x）
∴f（x）-f（y）=f（

x

y

）；
（2）∵f（2）=-3，
∴f（2）+f（2）=f（4）=-6，f（2）+f（4）=f（8）=-9
而由第（1）問知
∴不等式f（1）-f（

1

x-8

）=f（x-8）
可化為f（x-8）≥f（8）．
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，
∴x-8≤8且x-8＞0，
∴8＜x≤16
故不等式的解集是{x|8＜x≤16}．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，考查了利用賦值法求解抽象函數問題，解決本題的關鍵是綜合運用函數性質把抽象不等式化為具體不等式，也就是將不等式進行合理的轉化，利用單調性去掉“f”．屬于中檔題．