Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點M（1，m）到其焦點F的距離為2
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線l與C交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，OB為邊，平行四邊形OAPB，求點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意和拋物線的定義求出p，即可求出拋物線的方程；
（2）設(shè)P（x，y）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）可得F（1，0）并設(shè)直線l的方程是x=my+1，代入拋物線方程消去x后，由韋達(dá)定理求出y₁+y₂和y₁y₂，由中點坐標(biāo)公式求出AB的中點C的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)知：AB的中點為C也是OP的中點，由中點坐標(biāo)公式列出點P的參數(shù)方程，消去參數(shù)即可得點P的軌跡方程．

解答： 解：（1）因為點M（1，m）到焦點F的距離為2，
所以由拋物線的定義得：1+

p

2

=2，解得p=2，
則拋物線的方程是y²=4x；
（2）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可得F（1，0），設(shè)直線l的方程是x=my+1，
由

x=my+1 y2=4x

得，y²-4my-4=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，且△＞0，
設(shè)AB的中點為C，且C（x₀，y₀），
則y₀=

y1+y2

2

=2m，代入x=my+1得，x₀=my₀+1=2m²+1，
因為平行四邊形OAPB的對角線互相平分，
所以AB的中點為C也是OP的中點，則

x 2 =2m2+1 y 2 =2m

，
消去m可得，y²=4（x-2），
則點P的軌跡方程是y²=4（x-2）．

點評：本題考查拋物線的方程、定義，直線與拋物線的問題，軌跡方程的求法，注意韋達(dá)定理的合理運用，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．