Question

在△ABC中，角A、B、C所對邊分別是a、b、c，（a+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB）且a=2，△ABC的外接圓為⊙O，現在在⊙O內（包括圓周）隨機取點，若記所取的點在△ABC內（包括三角形的邊）的概率為p，則p的取值范圍是（　　）

• A、0＜p≤

  3

  2π

• B、

  3

  2π

  ≤p≤

  3 3

  4π

• C、

  3

  4π

  ＜p≤

  3

  2π

• D、0＜p≤

  3 3

  4π

Answer 1

考點：幾何概型

專題：綜合題,概率與統計

分析：△ABC中，由（a+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB），利用正弦定理，求出A，可得2R，即可求出△ABC的外接圓的面積，再利用基本不等式，確定bc≤4，可得S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，利用概率公式，即可得出結論．

解答： 解：△ABC中，由（a+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB），
利用正弦定理可得（a+b）（a-b）-（c-b）c=0，即bc=c²+b²-a²，
∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
∴2R=

a

sinA

=

4 3

3

，
∴△ABC的外接圓的面積為

4

3

π，
∵bc=c²+b²-a²≥2bc-4，∴bc≤4
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，
∴所取的點在△ABC內（包括三角形的邊）的概率為p=

3 4 bc

4 3 π

≤

3 3

4π

，
故選：D．

點評：本題主要考查正弦定理、概率公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．