Question

【題目】已知點P（1，3），圓C：（x﹣m）2+y2= 過點A（1，﹣ ），F點為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，直線PF與圓相切．
（1）求m的值與拋物線的方程；
（2）設點B（2，5），點 Q為拋物線上的一個動點，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：點A代入圓C方程，得（1﹣m）2+（﹣ ）2= ，解之得m=1．

∴圓C方程為：（x﹣1）2+y2= ．

①當直線PF的斜率不存在時，不合題意．

②當直線PF的斜率存在時，設為k，則PF：y=k（x﹣1）+3，即kx﹣y﹣k+3=0．

∵直線PF與圓C相切，∴C到PF的距離為 = ，解之得k=1或﹣1．

當k=1時，直線PF與x軸的交點橫坐標為﹣2，不合題意舍去；

當k=﹣1時，直線PF與x軸的交點橫坐標為4，

∴ =4，可得拋物線方程為y2=16x

（2）解：∵P（1，3），B（2，5），∴ ，

設Q（x，y），得

∴ =﹣（x﹣2）+（﹣2）（y﹣5）=﹣x﹣2y+12．

=﹣ y2﹣2y+12=﹣ （y+16）2+28

∵y∈R，得y=﹣16時 的最大值等于28

因此， 的取值范圍為（﹣∞，28]．

【解析】（1）點A坐標代入圓C方程解出m=1，再設出直線PF方程，根據PF與圓C相切利用點到直線的距離公式解出k=±1，討論可得k=1不符合題意，而k=﹣1時算出 =4，得拋物線方程為y2=16x；（2）設Q（x，y），由向量的坐標運算公式，算出 關于x、y的表達式，結合拋物線方程化簡得 =﹣ y2﹣2y+12=﹣ （y+16）2+28，利用二次函數的圖象與性質即可得到 的取值范圍為（﹣∞，28]．