Question

【題目】已知函數

（1）若為的極值點，求實數的值；

（2）若在上為增函數，求實數的取值范圍；

（3）當時，方程有實根，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0.

【解析】

（1）根據建立關于的方程求出的值.

（2）本小題實質是在區間上恒成立，進一步轉化為在區間上恒成立,

然后再討論和兩種情況研究.

（3）時，方程可化為,

問題轉化為在上有解，

利用導數研究函數的單調區間極值最值，從而求出值域，問題得解.

解：（1）

因為為的極值點，所以，即，解得.

又當時，，從而為的極值點成立．

（2）因為函數在上為增函數，所以

在上恒成立.

①當時，在上恒成立，

所以在上為增函數，故符合題意.

②當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，

故只能，所以在上恒成立.

令函數，其對稱軸為，

因為，所以，要使在上恒成立，只要即可，

即，所以.

因為，所以.

綜上所述，的取值范圍為.

（3）當時，方程可化為.

問題轉化為在上有解，

即求函數的值域.

因為函數，令函數，

則，

所以當時，，從而函數在上為增函數，

當時，，從而函數在上為減函數，

因此.

而，所以，因此當時，取得最大值0．