Question

已知log₉x=（log₃y）²．
（1）若x=3y，求x，y的值；
（2）當x，y為何值時，

x

y

取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

考點：對數的運算性質,基本不等式

專題：函數的性質及應用

分析：（1）若x=3y，則由條件求得log₃y 的值，可得y的值，從而求得對應的x的值．
（2）令

x

y

=k，則由條件可得 log₃k=（log₃y）²-log₃y，利用二次函數的性質可得當 log₃y=

1

2

時，log₃k取得最小值為-

1

4

，從而求得當x，y為何值時，

x

y

取得最小值．

解答： 解：（1）若x=3y，則由 log₃x=（log₃y）²，可得 1+log₃y=（log₃y）²，
求得log₃y=

1- 5

2

，或log₃y=

1+ 5

2

．
∴

x= 3-3 5 2 y= 1- 5 2

，或

x= 3+3 5 2 y= 1+ 5 2

．
（2）令

x

y

=k，則由log₃x=（log₃y）²，可得log₃k+log₃y=（log₃y）²，
即 log₃k=（log₃y）²-log₃y，故當 log₃y=

1

2

時，log₃k取得最小值為-

1

4

，
此時，x=

4	3

，y=

3

，k最小為3-

1

4

=

1

4 3

．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，二次函數的性質，屬于基礎題．