Question

已知函數f（x）=2lnx-x+

1

x

+2f′（1）x²．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）＞ax對x∈（1，e）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,導數的運算

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：（1）根據題意，對f（x）求導，可得f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

+4f′（1）x，令x=1可得f′（1）的值，進而可得f′（x）的解析式，令f′（x）≤0，解可得函數f（x）的單調遞減區間；
（2）由（1）可得f（x）的表達式，則可將f（x）＞ax變形為a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1，取g（x）=

2lnx

x

+

1

x2

-1，求導可得則g′（x）=

2x-xlnx-2

x3

，令h（x）=2x-xlnx-2，求導分析可得h（x）的單調區間與最小值，進而可得g′（x）＞0，可得g（x）的單調性與最小值，結合a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=2lnx-x+

1

x

+2f′（1）x²，有x＞0，
則f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

+4f′（1）x，
令x=1可得，f′（1）=4f′（1），則f′（1）=0；
故f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=-（

x-1

x

）²≤0，
故函數f（x）的單調遞減區間為（0，+∞），
（2）由（1）可得，f（x）=2lnx-x+

1

x

，
若f（x）＞ax對x∈（1，e）恒成立，即a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1在（1，e）恒成立，
取g（x）=

2lnx

x

+

1

x2

-1，則g′（x）=

2-lnx

x2

-

2

x3

=

2x-xlnx-2

x3

，
令h（x）=2x-xlnx-2，則h′（x）=1-lnx，
又由1＜x＜e，則h′（x）=1-lnx＞0，即h（x）在（1，e）為增函數，
故h（x）＞h（1）=0，
則g′（x）=

2x-xlnx-2

x3

＞0，即g（x）在（1，e）為增函數，
故g（x）＞g（1）=0，
若a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1在（1，e）恒成立，
則必有a≤0．

點評：本題考查函數的導數的計算以及應用，注意首先要分析函數的定義域，其次注意正確求出f（1）的值，從而得到f（x）的解析式．