【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若存在
，使得
，試求
的取值范圍.
【答案】(1) 
在
上單調遞減，在
上單調遞增;(2) 
.
【解析】試題分析：(1)先求函數導數（較復雜），再對導函數求導（恒正），從而導函數單調遞增，而導函數有一零點
，所以導函數符號變化規律可定，最后根據導函數符號確定單調性，(2) 原題意等價于
，而由（1）可得函數最小值為
，最大值為
,從而本題關鍵判斷
大小，構造差函數
,利用導數研究函數單調性，根據差函數的導函數單調遞增，且
，可分類討論大小關系，最后解出
的取值范圍.
試題解析：(1)
,設
,則
，所以
在
上單調遞增，又因為
，故
有唯一解，所以
的變化情況如下表所示:
|
|
|
|
|
|
|
|
| 遞減 | 極小值 | 遞增 |
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
(2) 因為存在
，使得
,所以當
時，
.由（1）知，在
上遞減，在
上遞增，所以當時，
,而
,記
,
因為
(當
時取等號), 所以
在
上單調遞增.而
，故當
時，
；當
時，
. ①當
時，由
，得
，得
； ②當時，由
，得
，得
， 綜上可知，所求取值范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
與圓
的公共點的軌跡為曲線
，且曲線
與
軸的正半軸相交于點
．若曲線
上相異兩點
滿足直線
的斜率之積為
．
（1）求
的方程；
（2）證明直線
恒過定點，并求定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的程序框圖，當輸入的x的值為0和4時，輸出的值相等，根據該圖和下列各小題的條件解答下面的幾個問題．
(1)該程序框圖解決的是一個什么問題？
(2)當輸入的x的值為3時，求輸出的f(x)的值；
(3)要想使輸出的值最大，求輸入的x的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一個樹形圖依據下列規律不斷生長，1個空心圓點到下一行僅生長出1個實心圓點，1個實心圓點到下一行生長出1個實心圓點和1個空心圓點，則第11行的實心圓點的個數是
A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：
喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為
。
(1）請將上面的列聯表補充完整；
(2）是否有99％的把握認為喜愛打籃球與性別有關？說明你的理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學擬在高一下學期開設游泳選修課，為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關，現從高一學生中抽取100人做調查，得到如下
列聯表：
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合計 |
已知在這100人中隨機抽取一人抽到喜歡游泳的學生的概率為
．
（Ⅰ）請將上述列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為喜歡游泳與性別有關？并說明你的理由；
（Ⅱ）針對問卷調查的100名學生，學校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立游泳科普知識宣傳組，并在這6人中任選兩人作為宣傳組的組長，求這兩人中至少有一名女生的概率．
參考公式：
，其中
．
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為招聘新員工設計了一個面試方案：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按題目要求獨立完成.規定：至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是
，且每題正確完成與否互不影響.
（1）分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列及數學期望；
（2）請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大？
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