Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數列{a_n+1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1及已知可得a_n=2 a_n-1+1．變形a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），即可證明數列{a_n+1}為等比數列，利用等比數列的通項公式即可得出a_n；
（2）由（1）可得b_n=（2n+1）•2ⁿ．利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵S_n+n=2a_n，
∴S_n-1=2a_n-1-（n-1）（n≥2，n∈N^*）．
兩式相減得a_n=2 a_n-1+1．
∴a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），
∴數列{a_n+1}為等比數列，公比為2．
∵S_n+n=2a_n，令n=1得a₁=1，a₁+1=2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）解：∵b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
∴b_n=（2n+1）•2ⁿ．
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，①
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2×

22-2n+1

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式及前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．