Question

【題目】設函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數有兩個零點，；

（i）求滿足條件的最小正整數的值.

（ii）求證：.

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為，單調減區間為；（2）（i）；（ii）見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求單調區間，只要求得導數，通過討論的范圍（和）可解不等式和不等式，從而得單調區間；

（Ⅱ）(1)求得，由有兩個零點得，的最小值為，且， 由此可得，由函數是增函數，通過估值可得最小正整數的值；（2）證明，設，由，可把用表示，不等式中的可替換，然后變形為的不等式，設，則，只要證相應地關于的不等式在上成立，這又可用導數研究相應的函數得出．

試題解析：

（Ⅰ）．

當時， 在上恒成立，所以函數單調遞增區間為，

此時 無單調減區間．

當時，由，得，，得，

所以函數的單調增區間為，單調減區間為.

（Ⅱ）（1）．

因為函數有兩個零點，所以，此時函數在單調遞增， 在單調遞減.

所以的最小值，即.

因為，所以.

令，顯然在上為增函數，且

，所以存在.

當時，；當時，，所以滿足條件的最小正整數.

又當時，，所以時，有兩個零點．

綜上所述，滿足條件的最小正整數的值為3.

（2）證明 ：不妨設，于是

即，

．

所以.

因為，當時，，當時，，

故只要證＞即可，即證明，

即證，

也就是證.

設．

令，則.

因為，所以，

當且僅當時，，

所以在上是增函數．

又，所以當總成立,所以原題得證．