Question

將正整數按如圖的規律排列，把第一行數1，2，5，10，17， 記為數列，第一

數列1，4，9，16，25， 記為數列

（1）寫出數列，的通項公式；

（2）若數列，的前n項和分別為，用數學歸納法證明：；

（3）當時，證明：．

 

Answer 1

（1）；（2）證明略；（3）證明略.

【解析】

試題分析：（1）數學歸納法是一種重要的數學思想方法，主要用于解決與正整數有關的數學問題,用數學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式兩邊各有多少項，初始值是多少；（2)由時等式成立，推出時等式成立，一要找出等式兩邊的變化（差異），明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程，由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務必保證猜想的正確性，同時必須嚴格按照數學歸納法的步驟書寫；（3）觀測數列的特點形式，看使用什么方法求和.使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源和目的.

試題解析：【解析】
（1）由，得：， 3分

． 4分

① 當時，，∴，又，∴時等式成立； 5分

② 假設時等式成立，即，

則時，

，

∴時等式也成立． 8分

根據①②，都成立． 9分

（3）當時，，∴． 11分

又

．

綜上可知：成立． 14分

考點：（1）求數列的通項公式；（2）用數學歸納法證明命題；（3）裂項法求數列的和.