Question

【題目】用一個長為，寬為的矩形鐵皮（如圖1）制作成一個直角圓形彎管（如圖3）：先在矩形的中間畫一條曲線，并沿曲線剪開，將所得的兩部分分別卷成體積相等的斜截圓柱狀（如圖2），然后將其中一個適當翻轉拼接成直角圓形彎管（如圖3）（不計拼接損耗部分），并使得直角圓形彎管的體積最大；

（1）求直角圓形彎管（圖3）的體積；

（2）求斜截面橢圓的焦距；

（3）在相應的圖1中建立適當的坐標系，使所畫的曲線的方程為，求出方程并畫出大致圖像；

Answer 1

【答案】（1）； （2）2； （3）見解析；

【解析】

（1）直角圓形彎管的體積即為圓柱的體積，要使直角圓形彎管的體積最大，可取圓柱的高為，半徑為1，計算可得所求體積；

（2）求得，以矩形的下邊的中點為，下邊所在直線為軸，建立所示的直角坐標系，設出曲線方程，應用周期性和對稱性，求得方程，再由橢圓的長軸和短軸的關系，可得焦距；

（3）由（2）可得方程，畫出方程表示的曲線．

解：（1）直角圓形彎管的體積即為圓柱的體積，

要使直角圓形彎管的體積最大，

可取圓柱的高為，

那么圓柱的底面半徑為，

即有直角圓形彎管（圖的體積為；

（2）由圖2可得橢圓短軸長為，即，

可以矩形的下邊的中點為，

下邊所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，

由周期為，可得，

再由時，；時，，

又，可得，

所求方程為，，

可得，

解得，，

可得橢圓的焦距為2；

（3）由（2）可得，方程為，，

圖象如右圖．