Question

正項等差數列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃=15，且a₁+2，a₂+5，a₃+13構成等比數列{b_n}的前三項．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得a₂=5，d＞0，（7-d）（18+d）=100，由此能求出bn=5•2n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）由a_nb_n=5（2n+1）•2^n-1，利用錯位相減法能求出數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵正項等差數列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=15，
∴a₂=5，d＞0，
∵a₁+2，a₂+5，a₃+13構成等比數列{b_n}的前三項，
∴{b_n}的前3項分別為7-d，10，18+d，
依題意，有（7-d）（18+d）=100，
解得d=2或d=-13（舍），
∴{b_n}的首項b₁=5，公比q=2，
∴bn=5•2n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）∵a_nb_n=5（2n+1）•2^n-1，
∴T_n=5[3•2⁰+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1]，①
2T_n=5[3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ]，②
①-②，得-T_n=5[3+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ]
=5[3+

4(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ]
=5[2ⁿ⁺¹-1-（2n+1）•2ⁿ]，
∴T_n=5+5（2n-1）•2ⁿ．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．