Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+1=0，圓C關于直線x+y+1=0對稱，圓心在第二象限，半徑為2．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知過點（-4，2）的直線l，圓C的圓心到l的距離為2，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）由圓的方程寫出圓心坐標，因為圓C關于直線x+y+1=0對稱，得到圓心在直線上代入得到①，把圓的方程變成標準方程得到半徑的式子等于2得到②，①②聯立求出D和E，即可寫出圓的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y-2=k（x+4），即kx-y+4k+2=0，根據圓C的圓心到l的距離為2，列出式子求出k即可．

解答： 解：（Ⅰ）由x²+y²+Dx+Ey+1=0知圓心C的坐標為（-

D

2

，-

E

2

）
∵圓C關于直線x+y+1=0對稱
∴點（-

D

2

，-

E

2

）在直線x+y+1=0上
即D+E=-2，①且

D2+E2-4

4

=4②
又∵圓心C在第二象限∴D＞0，E＜0
由①②解得D=2，E=-4
∴所求圓C的方程為：x²+y²+2x-4y+1=0
（Ⅱ）圓C：（x+1）²+（y-2）²=4
設直線l的方程為y-2=k（x+4），即kx-y+4k+2=0．
∵圓C的圓心到l的距離為2，
∴

|-k-2+4k+2|

k2+1

=2，∴k=±

2 5

5

∴所求方程為y-2=±

2 5

5

（x+4）．

點評：考查學生會把圓的方程變為標準方程的能力，正確運用圓心到直線的距離是關鍵．