Question

已知數列{a_n}滿足

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

．
（1）設S_n是數列{a_n}的前n項和，求a_n與S_n；
（2）若b_n=

16

(an+1)(an+5)

，設函數f（x）=x+

1

2

-

n

i-1

b_i，是否存在最大的實數λ，當x≤λ時，對一切n∈N^*都有f（x）≤0成立？若存在求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，得Sn=2n2+n，由此能求出a_n=4n-1．
（2）假設存在最大的實數λ，當x≤λ時，對一切n∈N^*，都有x+

1

2

-

n

i=1

bi≤0成立，從而

n

i=1

bi=

n

n+1

≥

1

2

，由此能推導出λ=0，當x≤λ時，對一切n∈N^*，都有f（x）≤0成立．

解答： 解：（1）由

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，得：a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1），
即Sn=2n2+n．…（3分）
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1，
又n=1時，a₁=S₁=3，
∴a_n=4n-1，（n∈N^*）．…（6分）
（2）假設存在最大的實數λ，當x≤λ時，對一切n∈N^*，
都有f（x）≤0成立，即有x+

1

2

-

n

i=1

bi≤0成立，
∴當x≤λ時，對一切n∈N^*，都有x+

1

2

≤

n

i=1

bi成立，…（8分）
∵b_n=

16

(an+1)(an+5)

=

16

(4n-1+1)(4n-1+5)

=

16

4n(4n+4)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

n

i=1

bi=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

≥

1

2

，…（10分）
∴當x≤λ時，對一切n∈N^*都有x+

1

2

≤

1

2

成立，解得x≤0，
∴可取λ=0，當x≤λ時，對一切n∈N^*，都有f（x）≤0成立．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，考查是否存在最大的實數λ，當x≤λ時，對一切n∈N^*都有f（x）≤0成立的判斷與求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．