Question

已知三角形ABC中，AB=2，AC=

2

BC．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）求三角形ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,軌跡方程

專題：計算題,解三角形,直線與圓

分析：（1）以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），由條件得到方程，化簡方程，整理配方即可得到所求軌跡方程；
（2）運用圓的方程，可得|y|的最大值，由三角形的面積公式，計算即可得到最大值．

解答： 解：（1）以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，
則A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），
由AC=

2

BC，得（x-3）²+y²=8，即為點C的軌跡方程，
所以點C的軌跡是以（3，0）為圓心，半徑為2

2

的圓．
（2）由于AB=2，所以S_△ABC=

1

2

×2|y|=|y|．
因為（x-3）²+y²=8，所以|y|≤2

2

，
所以S△ABC≤2

2

，
即三角形ABC的面積的最大值為2

2

．

點評：本題考查軌跡方程的求法：直接法，考查圓的方程的運用，考查三角形面積公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．