Question

已知在公比不等于1的等比數列{a_n}中，a₂，a₈，a₅成等差數列．
（1）求證：S₄，S₁₀，S₇成等差數列；
（2）若a₁=1，數列{|a_n³|}的前項和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差關系的確定,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意得S₄+S₇=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

=

2a1(1-q10)

1-q

=2S₁₀，由此能證明S₄，S₁₀，S₇成等差數列．
（2）由已知得T_n=

1-|q3|n

1-|q3|

，從而2q⁶-q³-1=0，由此能證明T_n＜2．

解答： （1）證明：設數列{a_n}的公比為q（q≠1），
由題意得 2a1q7=a1q+a1q4，（1分）
∴2q⁷=q+q⁴，即2q¹⁰=q⁴+q⁷，
∴S₄+S₇=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

=

a1(2-q4-q7)

1-q

=

a1(2-2q10)

1-q

=

2a1(1-q10)

1-q

=2S₁₀．（5分）
∴S₄，S₁₀，S₇成等差數列．（6分）
（2）證明：依題意得數列{|a_n³|}是首項為1，公比為|q³|的等比數列，
∴T_n=

1-|q3|n

1-|q3|

．（7分）
又由（Ⅰ）得2q⁷=q+q⁴，∴2q⁶-q³-1=0，（8分）
解得q³=1（舍去），q3=-

1

2

．（10分）
∴T_n=

1-|- 1 2 |n

1-|- 1 2 |

=2[1-（

1

2

）ⁿ]＜2．（12分）

點評：本題考查等差數列的證明，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．