Question

在下列四個命題中：
①函數y=f（2x-1）的定義域為（-1，1），則f（x+1）的定義域為（-4，0）；
②函數f（x）=lnx+4x-13的零點一定位于區間（2，3）；
③函數f（x）=log 

1

2

（2x²-3x+1）的增區間是（-∞，

1

2

]；
④函數f（x）是定義域為[-1，1]的偶函數，且在[0，1]上遞增，而且f（x-1）＜f（2x-1），則x的取值范圍為（

2

3

，1]．
其中正確的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：運用函數的定義域的定義，結合一次不等式的解法，即可判斷①；
運用函數的零點存在定理，即可判斷函數的零點所在區間，即可判斷②；
運用復合函數的單調性：同增異減，由對數函數和二次函數的單調性，即可得到遞增區間，即可判斷③；
運用偶函數的性質有f（x-1）＜f（2x-1）即為f（|x-1|）＜f（|2x-1|），結合單調性，解不等式即可得到x的范圍，即可判斷④．

解答： 解：對于①，函數y=f（2x-1）的定義域為（-1，1），即有-3＜2x-1＜1，即為f（x）的定義域，
則對于y=f（x+1）有-3＜x+1＜1，解得-4＜x＜0，即f（x+1）的定義域為（-4，0），則①對；
對于②，函數f（x）=lnx+4x-13在x＞0上遞增，且f（2）=ln2-5＜0，f（3）=ln3-1＞0，
由零點存在定理可得f（x）的零點介于區間（2，3），則②對；
對于③，令t=2x²-3x+1（x＞1或x＜

1

2

），則y=log

1

2

t，由于t在（-∞，

1

2

）上遞減，y在t＞0上遞減，
則函數f（x）=log 

1

2

（2x²-3x+1）在（-∞，

1

2

）上遞增，則③錯；
對于④，由于函數f（x）是定義域為[-1，1]的偶函數，且在[0，1]上遞增，
則y=f（|x|）在{0，1]遞增，f（x-1）＜f（2x-1）即為f（|x-1|）＜f（|2x-1|），
即有

0≤|x-1|≤1 0≤|2x-1|≤1 |x-1|＜|2x-1|

，即

0≤x≤2 0≤x≤1 x＞ 2 3 或x＜0

，解得

2

3

＜x≤1．則④對．
故答案為：①②④．

點評：本題考查函數的定義域的求法、函數的零點的判斷和函數的單調區間的求法，考查函數的單調性和奇偶性的運用：解不等式，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．