【題目】如圖，已知橢圓
的左頂點為
，過右焦點
的直線交橢圓于
，
兩點，直線
，
分別交直線
于點
，
.
（1）試判斷以線段
為直徑的圓是否過點，并說明理由；
（2）記
，
，
的斜率分別為
，
，
，證明：，，成等差數列.
【答案】（1）以線段
為直徑的圓過點
，理由見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）設直線
斜率為
，求出點
坐標，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理解出
的坐標，同理可得設直線
斜率為
，求出點
坐標，根據
三點共線，
，得出兩條直線斜率關系，再通過計算得出
，即可得證；
（2）根據第一問所求點的坐標及斜率關系計算出
，化簡即可得證.
（1）以線段為直徑的圓過點，證明如下：
由題意知直線斜率存在且不為零，
設直線斜率分別為，設
，直線方程為
，則點坐標為
聯立直線與橢圓的方程：
，整理得：
，其根為
兩點橫坐標，
根據韋達定理
，
所以
，
即點的坐標
.
同理可得設直線斜率分別為，點
坐標為
解得點
的坐標為
三點共線，，即
，
所以
，即以線段為直徑的圓過點；
（2）由（1）可得
，，
，
所以，
，
成等差數列.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從
名教師中選派
名教師去完成
項不同的工作，每人至少完成一項，每項工作由
人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案種數是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】總體由編號為01，02，03，
，49，50的50個個體組成，利用隨機數表（以下選取了隨機數表中的第1行和第2行）選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第9列和第10列數字開始由左向右讀取，則選出來的第4個個體的編號為（ ）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 05 B. 09 C. 07 D. 20
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求和的直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線截直線所得線段的中點坐標為
，求的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量
，
函數
.
（1）將函數
的圖像向右平移m（
）個單位長度，所得圖像對應的函數為奇函數，寫出m的最小值（不要求寫過程）；
（2）若
，
，求
的值；
（3）若函數
（
）在區間
上是單調遞增函數，求正數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了適應高考改革，某中學推行“創新課堂”教學.高一平行甲班采用“傳統教學”的教學方式授課，高一平行乙班采用“創新課堂”的教學方式授課，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機抽取
名學生的成績進行統計分析，結果如下表：（記成績不低于
分者為“成績優秀”）
分數 |
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甲班頻數 |
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乙班頻數 |
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（1）由以上統計數據填寫下面的
列聯表，并判斷是否有
以上的把握認為“成績優秀與教學方式有關”？
甲班 | 乙班 | 總計 | |
成績優秀 | |||
成績不優秀 | |||
總計 |
（2）在上述樣本中，學校從成績為
的學生中隨機抽取
人進行學習交流，求這人來自同一個班級的概率.
參考公式：
，其中
.
臨界值表
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