Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，用定義證明函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)是偶函數(shù)，

(i)求的值;

(ii)設(shè)，若方程只有一個(gè)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)(i)，(ii)或

【解析】

（1）按單調(diào)性的定義證明步驟，任取，再作差判斷符號(hào)得到，即可得答案；

（2）(i)根據(jù)偶函數(shù)的定義得恒成立；

(ii)將方程中令，將方程化為，再對(duì)分、兩種情況分類討論.

(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，任取，

，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，，

所以，

所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增;

(2)(i)因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，

即，

即，

所以恒成立，

所以;

(ii)由題意得，

所以，

所以，即，

設(shè)，則與一一對(duì)應(yīng)，原方程化為，

設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以與符號(hào)相同，

①當(dāng)時(shí)，，則方程在上只有一個(gè)正根，

因?yàn)?/span>開口向上，，，，

當(dāng)時(shí)，所以方程在上只有一個(gè)正根;

②當(dāng)時(shí)，，則方程在上只有一個(gè)正根，

因?yàn)?/span>開口向下，，，

則，解得，所以，

故當(dāng)或時(shí)，所以方程只有一個(gè)正根.