Question

在等比數列﹛a_n﹜中，對任意的n∈N⁺，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+…+a_n²為（　　）

• A、

  1

  3

  （4ⁿ-1）
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）
• C、（2ⁿ-1）²
• D、4ⁿ-1

Answer 1

考點：等比數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：在等比數列﹛a_n﹜中，對任意的n∈N⁺，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，可知：當n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，
a_n=2^n-1．當n=1時上式也適合．再利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：∵在等比數列﹛a_n﹜中，對任意的n∈N⁺，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，
∴當n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，
∴a_n=2^n-1．
當n=1時，a₁=2-1=1，上式也適合．
∴等比數列﹛a_n﹜的首項為1，公比q=2．
∴當n≥2時，

a 2 n

a 2 n-1

=

(2n-1)2

(2n-2)2

=4．
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)．
故選：A．

點評：本題考查了遞推式的意義、等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力一ujsnl，屬于基礎題．