Question

如圖為函數f（x）=Asin（ωx+φ）+C（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象的一部分．
（1）求函數f（x）的周期及單調區間．
（2）說明函數f（x）的圖象可以由y=sinx（x∈R）得圖象經過怎樣的變換得到．
（3）求與函數f（x）圖象關于直線x=2對稱的函數y=g（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先，確定振幅A和平衡位置，然后，根據周期公式求解ω的值，然后將點（4，1）代人確定φ的值；
（2）直接結合三角函數的平移變換公式進行求解；
（3）根據對稱性直接求解其解析式．

解答： 解：（1）結合圖象得
A=3，C=1，

3

4

T=12-4=8，
∴ω=

3π

16

，
∴y=3sin（

3π

16

x+∅）+1，
將點（4，1）代人，得
3sin（

3π

4

+∅）+1=1，
∴

3π

4

+φ=kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

4

，
∴y=3sin（

3π

16

x+

π

4

）+1，
∴周期為：T=

32

3

，
令-

π

2

+2kπ≤

3π

16

x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-4+

32

3

k≤x≤

4

3

+

32k

3

，
∴增區間為：[-4+

32

3

k，

4

3

+

32k

3

]，
令

π

2

+2kπ≤

3π

16

x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得

4

3

+

32

3

k≤x≤

20

3

+

32k

3

，
∴減區間為：[

3

4

+

32

3

k，

20

3

+

32k

3

]，
（2）首先，由y=sinx（x∈R）的圖象上各點向左平移

π

4

個單位，
得到函數y=sin（x+

π

4

）的圖象，然后，將所得函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

16

3π

倍，得到
函數y=sin（

3π

16

x+

π

4

）的圖象，然后，再將所得函數圖象上各點的縱坐標伸長到原來的3倍，得到
函數y=3sin（

3π

16

x+

π

4

）的圖象，然后，再將所得圖象向上平移1個單位，即得函數y=3sin（

3π

16

x+

π

4

）+1的圖象．
（3）設點P（x，y）是函數y=g（x）圖象上任一點，
點P關于直線x=2的對稱點為（x₀，y₀），
則y₀=3sin（

3π

16

x₀+

π

4

）+1，①
∵

x+x0 2 =2 y=y0

，
∴

x0=4-x y0=y

，將此代人①，得
y=3sin[

3π

16

（4-x）+

π

4

]+1
=3sin（π-x）+1
=1+3sinx，
∴函數y=g（x）的解析式g（x）=1+3sinx．

點評：本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角函數誘導公式等知識，屬于中檔題．解題的關鍵是靈活運用對稱思想求解函數的解析式．