Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，且離心率為，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，面積最大值為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且直線經(jīng)過定點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由離心率為和面積可求出的值，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?/span>，則直線與斜率和為零，所以有，通過化簡(jiǎn)可以得出與的關(guān)系，從而判斷是否存在定點(diǎn).

（1）面積最大值為：，又，，解得：.即：，所以方程為：.

（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，

設(shè)直線的方程為，.

由消去，得.

由直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故恒成立，

由求根公式得：，

由，可得直線與斜率和為零.故，

，

.所以，

存在定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)定點(diǎn)也符合題意.