Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，E為棱BB1上的點，AB1⊥平面C1DE，且B1，C1，D，E四點在同一球面上，則該球的表面積為（　　）

A. 9π B. 11π C. 12π D. 14π

Answer 1

【答案】A

【解析】

由題意，AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，AB＝BC＝CA＝2，底面是正的三角形．D為A1B1的中點，E為棱BB1上的點，AB1⊥平面C1DE，求E為棱BB1上的位置，在求解B1﹣C1DE三棱錐的外接球即可得球的表面積．

由題意，AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

AB＝BC＝CA＝2，底面是正三角形．

AB1，∴sin∠AB1B．

那么DB1，

AB1⊥平面C1DE，AB1⊥DE，D為A1B1的中點，E為棱BB1上的點，

DE∩AB1＝M，

∵△ABB1∽△EB1M

∴

那么：EB1＝1

則在D﹣B1C1E三棱錐中：B1C1＝2，C1D，EC1＝3，DE，B1D

∵EB1⊥平面DB1C1，

底面DB1C1是直角三角形，

∴球心在EC1在的中點上，

∴R

球的表面積S＝4πR2＝9π．

故選：A．