Question

【題目】已知函數f（x）=xex﹣a（x﹣1）（a∈R）
（1）若函數f（x）在x=0處有極值，求a的值及f（x）的單調區間
（2）若存在實數x0∈（0， ），使得f（x0）＜0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x+1）ex﹣a，

由f′（0）=0，解得：a=1，

故f′（x）=（x+1）ex﹣1，

令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，

故f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增

（2）解：若f（x）＜0在x∈（0， ）上有解，

即xex＜a（x﹣1），a＜ 在x∈（0， ）上有解，

設h（x）= ，x∈（0， ），

則h′（x）= ＜0，

故h（x）在（0， ）遞減，

h（x）在（0， ）的值域是（﹣ ，0），

故a＜h（0）=0

【解析】（1）求出函數的導數，求出a的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為a＜ 在x∈（0， ）上有解，設h（x）= ，x∈（0， ），根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．