Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ=2 cos（ +θ）．
（I）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于M，N兩點，求|MN|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線l的參數方程為 （t為參數），

∴消去參數t，得直線l的直角坐標方程為 =0．

∵曲線C的極坐標方程為ρ=2 cos（ +θ）．

即 =2cosθ﹣2sinθ，

即ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，

∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．

（Ⅱ）曲線C是以C（1，﹣1）為圓心，以r= 為半徑的圓，

圓心C（1，﹣1）到直線l的距離d= = ，

∵直線l與曲線C相交于M，N兩點，

∴|MN|=2 =2 =

【解析】（Ⅰ）直線l的參數方程消去參數t，得直線l的直角坐標方程為 =0；曲線C的極坐標方程l轉化為ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，由此能求出曲線C的直角坐標方程．（Ⅱ）曲線C是以C（1，﹣1）為圓心，以r= 為半徑的圓，求出圓心C（1，﹣1）到直線l的距離d，由|MN|=2 ，能求出結果．