Question

【題目】已知函數（），.

（1）當在處的切線與直線垂直時，方程有兩相異實數根，求的取值范圍；

（2）若冪函數的圖象關于軸對稱，求使不等式在上恒成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由題設可得，令（），利用導數研究函數的單調性，可得，從而可得結果；（2）由題設有，令（），兩次求導，分兩種情況討論，可得①時；②時，，綜合兩種情況可得結果.

詳解：（1）由題設可得，令（）

則令得.

	遞減	極小值	遞增

∵，，，

且有兩個不等實根，∴，

即

∴

（2）由題設有，令（），

則，令，則

又，∴.∴在在單調遞增.

又，

①，即時，.

所以在內單調遞增，，所以

②，即時，由在內單調遞增，

且∵，.

∴使得.

	遞減	極小值	遞增

所以的最小值為.

又，所以 .

因此，要使當時，恒成立，只需，即即可.

解得，此時，可得，

以下求出的取值范圍.

設，，得.

所以在上單調遞減，從而.

綜上①②所述，的取值范圍.