Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為的中點，底面，.

（1）求證：平面；

（2）求鈍二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的性質定理與矩形的性質可證，再由線面垂直的判定定理可證平面，即，又由等腰三角形三線合一可知，最后由線面垂直的判定定理可證；

（2）由已知三條直線兩兩垂直，于是可以分別以射線、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，進而表示點B,P,C,D的坐標，即可表示向量，再分別表示平面與平面的法向量，最后由數量積計算夾角的余弦值.

（1）證明：∵平面，∴.

∵四邊形是矩形，所以，

由 平面，∴.

，為的中點，∴

由 平面.

（2）由已知三條直線兩兩垂直，于是可以分別以射線、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

則,

所以

設平面的法向量為，則

，令，則.

設平面的法向量為，則

，令，則.

.

設二面角的平面角為，由已知為鈍角，

∴.