Question

如圖所示，某企業(yè)擬建造一個體積為V的圓柱型的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米）．已知圓柱兩個底面部分每平方米建造費(fèi)用為a千元，側(cè)面部分每平方米建造費(fèi)用為b千元．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h（h≥2r），該容器的總建造費(fèi)用為y千元．
（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）求該容器總建造費(fèi)用最小時r的值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用體積確定h，r之間的關(guān)系，再求出容器的總建造費(fèi)用；
（2）利用基本不等式，即可求該容器總建造費(fèi)用最小時r的值．

解答： 解：（1）由題意，V=πr²h，∴h=

V

πr2

，
∵圓柱兩個底面部分每平方米建造費(fèi)用為a千元，側(cè)面部分每平方米建造費(fèi)用為b千元，
∴該容器的總建造費(fèi)用y=a×2πr²+b×2πrh=2πar2+

2bV

r

（0＜r≤

3	V 2π

）
（2）y=2πar²+

2bV

r

≥3

3	2πar2• bV r • bV r

=3bv

2πa

，
當(dāng)且僅當(dāng)2πar²=

bV

r

，即r=

3	bV 2πa

時，該容器總建造費(fèi)用最小．

點(diǎn)評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．．