Question

某校從高二年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期末考試數學成績（滿分為100分，且成績均不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）[，90，100]，并將得到的數據如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中的初數a的值；
（1）若該校高二年級共有學生800人，試估計該校高二年級期末考試數學成績不低于60分的人數；
（2）若從數學成績在[40，50）和[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生數學成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1建立關于a的等式，解之即可求出所求；
（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率，然后根據頻數=頻率×總數可求出所求；
（3）成績在[40，50）分數段內的人數，以及成績在[90，100]分數段內的人數，列出所有的基本事件，以及兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．

解答： （1）由題意得，前3組頻率分別為0.05，0.10，0.20，
第5組，第6組分別為0.25，0.10，
則第4組的頻率為0.3，
所以a=

0.3

10

=0.03．
（2）由題意得，不低于60（分）的頻率為0.85，
又高二年級共有學生800名，
所以不低于60（分）的人數為800×0.85=680． 
（3）成績在[40，50）分數段內的人數為40×0.05=2人，分別記為A，B．
成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F．
若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15種．
如果兩名學生的數學成績都在[40，50）分數段內或都在[90，100]分數段內，那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10．如果一個成績在[40，50）分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10．
記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7種．所以P（M）=

7

15

．

點評：本小題主要考查頻率、頻數、統計和概率等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力．