Question

【題目】如圖：點P在直徑AB=1的半圓上移動（點P不與A，B重合），過P作圓的切線PT且PT=1，∠PAB=α，

（1）當α為何值時，四邊形ABTP面積最大？
（2）求|PA|+|PB|+|PC|的取值范圍？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為直徑，

∴∠APB=90°，AB=1，

∵∠PAB=α，

∴PA=cosα，PB=sinα，

又PT切圓于P點，∠TPB=∠PAB=α，

∴BC=sinαPB=sin2α，

∴S四邊形ABTP=S△PAB+S△TPB

= PAPB+ PTBC

= sinαcosα+ sin2α

= sin2α+ （1﹣cos2α）

= （sin2α﹣cos2α）+

= sin（2α﹣ ）+ ，

∵0＜α＜ ，﹣ ＜2α﹣ ＜ π，

∴當2α﹣ = ，即α= π時，S四邊形ABTP最大

（2）解：|PA|+|PB|+|PC|=cosα+sinα+sinαcosα，

設t=cosα+sinα，則t2=cos2α+sin2α+2cosαsinα=1+2cosαsinα，

∴cosαsinα= ，

∴|PA|+|PB|+|PC|= +t= +t﹣ ，

∵t=cosα+sinα= sin（α+ ）∈1， ]，且t=﹣1（1， ]，

∴|PA|+|PB|+|PC|= +t﹣ 在t∈（1， ]時單調遞增，

則（|PA|+|PB|+|PC|）∈（1， + ]

【解析】（1）由AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到∠APB為直角，再由AB=1，表示出PA與PB，根據PT與圓相切，表示出BC，進而表示出四邊形ABTP的面積，整理后，利用正弦函數的值域及二次函數性質確定出最大值即可；（2）把表示出的PA，PB，PC代入所求式子，設t=cosα+sinα，可得出t2=1+2cosαsinα，進而表示出cosαsinα，代入所求式子整理為一個角的正弦函數，利用正弦函數的值域及二次函數性質確定出范圍即可．