Question

用符號[x）表示超過x的最小整數，如[π）=4，[-1.08）=-1，則有下列命題：
①函數f（x）=[x）-x，x∈R，則值域為（0，1]；
②如果數列{a_n}是等差數列，n∈N^*，那么數列{[a_n）}也是等差數列；
③若x、y∈{0，

5

2

，3，1，5，

2

3

，-

3

2

，7}，則滿足方程[x）•[y）=4的有5組解；
④已知向量

a

=（x，y），

b

=（[x），[y）），則＜

a

，

b

＞不可能為直角角．
其中，所有正確命題的序號應是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①函數f（x）=[x）-x，x∈R，畫出其圖象即可判斷出；
②數列0.4，0.8，1.2是等差數列，n∈N^*，數列[a_n）為1，1，2，不是等差數列，即可判斷出；
③若x、y∈{0，

5

2

，3，1，5，

2

3

，-

3

2

，7}，則[x）或[y）=1，3，4，2，6，-1，8．滿足方程[x）•[y）=4的解只有

x=0 y=3

或

x=3 y=0

，

x= 2 3 y=3

，

x=3 y= 2 3

，

x=1 y=1

，即可判斷出；
④設f（x）=x•[x），x≥0時，f（x）≥0，x＜0時，f（x）≥0，則

a

•

b

=f（x）+f（y）≥0，只有x，y∈（-1，0），

b

=

0

，取等號，即可判斷出．

解答： 解：①函數f（x）=[x）-x，x∈R，其圖象如圖所示，則值域為（0，1]，正確；
②數列0.4，0.8，1.2是等差數列，n∈N^*，數列[a_n）為1，1，2，不是等差數列，不正確；
③若x、y∈{0，

5

2

，3，1，5，

2

3

，-

3

2

，7}，則[x）或[y）=1，3，4，2，6，-1，8．滿足方程[x）•[y）=4的解為

x=0 y=3

或

x=3 y=0

，

x= 2 3 y=3

，

x=3 y= 2 3

，

x=1 y=1

，只有5組解，因此正確；
④設f（x）=x•[x），x≥0時，f（x）≥0，x＜0時，f（x）≥0，則

a

•

b

=f（x）+f（y）≥0，只有x，y∈（-1，0），

b

=

0

，取等號，因此＜

a

，

b

＞不可能為直角，不正確．
其中，所有正確命題的序號應是①③．
故答案為：①③．

點評：本題考查了新定義[x）的意義及其性質，考查了數形結合的思想方法，考查了舉反例否定一個命題的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．