【題目】如圖，設拋物線C1:
的準線1與x軸交于橢圓C2：
的右焦點F2，F1為C2的左焦點.橢圓的離心率為
，拋物線C1與橢圓C2交于x軸上方一點P，連接PF1并延長其交C1于點Q，M為C1上一動點，且在P，Q之間移動.
（1）當
取最小值時，求C1和C2的方程；
（2）若△PF1F2的邊長恰好是三個連續的自然數，當△MPQ面積取最大值時，求面積最大值以及此時直線MP的方程.
【答案】（1）
,
；
（2）面積最大值為
，此時
.
【解析】
（1）由題意，
和
，得到
，
，根據
取最小值時
，即可求得拋物線和橢圓的方程；
（2）用
表示出橢圓的方程，聯立方程組得出
點的坐標，計算出
的三邊關于的式子，從而確定實數的值，求出
得距離和
到直線的距離，利用二次函數的性質，求得
面積取最大值，即可求解．
（1）由題意，拋物線
的準線方程為
，
橢圓
的右焦點
，所以，
又由，則，，所以取最小值時，
所以拋物線C1:，
又由
，
，所以橢圓C2的方程為．
（2）因為，，則，，
設橢圓的標準方程為
，
，
聯立方程組
，得
，
所以
或
（舍去），代入拋物線方程得
，即
，于是
，
，
，
又的邊長恰好是三個連續的自然數，所以
，
此時拋物線方程為
，
，
，
則直線PQ的方很為
，聯立
，得
或
（舍去），于是
.所以
，
設
到直線的距離為
，則
，
當
時，
，
所以的面積最大值為
，
此時MP：
.
陽光課堂課時優化作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形
中，
，
是
邊上異于端點的動點，
于點
，將矩形
沿
折疊至
處，使面
面
.點
分別為
的中點.
（1）證明：
//面
；
（2）設
，當x為何值時，四面體
的體積最大，并求出最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
（
）上的兩個動點
和
，焦點為F.線段
的中點為
，且點到拋物線的焦點F的距離之和為8
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若線段
的垂直平分線與x軸交于點C，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，給定
個整點
,其中
.
（Ⅰ）當
時,從上面的
個整點中任取兩個不同的整點
，求
的所有可能值；
（Ⅱ）從上面個整點中任取
個不同的整點，
.
（i）證明：存在互不相同的四個整點
，滿足
,
；
（ii）證明：存在互不相同的四個整點
，滿足
,
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種“籠具”由內，外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為
，高為
，圓錐的母線長為
.
（1）求這種“籠具”的體積（結果精確到0.1
）；
（2）現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示．勞倫茨曲線為直線
時，表示收入完全平等，勞倫茨曲線為折線
時，表示收入完全不平等.記區域
為不平等區域，
表示其面積，
為
的面積．將
，稱為基尼系數．對于下列說法：
①
越小，則國民分配越公平；
②設勞倫茨曲線對應的函數為
，則對
，均有
；
③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為
，則
；
其中正確的是：（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
，在以O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為
．
（1）設曲線C與直線l的交點為A、B，求弦AB的中點P的直角坐標；
（2）動點Q在曲線C上，在（1）的條件下，試求△OPQ面積的最大值．
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