Question

【題目】已知，給定個整點,其中.

（Ⅰ）當時,從上面的個整點中任取兩個不同的整點，求的所有可能值；

（Ⅱ）從上面個整點中任取個不同的整點，.

（i）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,；

（ii）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）詳見解析；（ii）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）列出所有的整點后可得的所有可能值.

（Ⅱ）對于（i），可用反證法，對于（ii），可設直線上選擇了個的點，計算可得諸直線上不同兩點的橫坐標和的不同個數(shù)的最小值為，結合中任意不同兩項之和的不同的值恰有個可得至少有一個和出現(xiàn)兩次，從而可證結論成立.

解:（Ⅰ）當時，4個整點分別為.

所以的所有可能值.

（Ⅱ）（i）假設不存在互不相同的四個整點，

滿足.

即在直線中至多有一條直線上取多于1個整點，其余每條直線上至多取一個整點， 此時符合條件的整點個數(shù)最多為.

而，與已知矛盾.

故存在互不相同的四個整點，滿足.

（ii）設直線上有個選定的點.

若，設上的這個選定的點的橫坐標為，且滿足.

由，

知中任意不同兩項之和至少有個不同的值，這對于也成立.

由于中任意不同兩項之和的不同的值恰有個，

而,

可知存在四個不同的點，

滿足.