Question

偶函數f（x）（x∈R）滿足f（-4）=f（1）=0，且在區間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增，則不等式xf（x）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：利用偶函數關于y軸對稱的性質，并結合題中給出函數的單調區間畫出函數f（x）的圖象，再由xf（x）＜0得到x與f（x）異號得出結論．

解答： 解：∵f（x）是偶函數
∴f（-x）=f（x）即f（4）=f（-1）=0，
又∵f（x）在區間[0，3]與[3，+∞）上
分別遞減和遞增得到圖象如圖：
由圖可知，當x＞0時要xf（x）＜0只需f（x）＜0
即x∈（1，4），
當x＜0時，可得x∈（-∞，-4）∪（-1，0）
故答案為：（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）．

點評：本題考查了利用函數的奇偶性和單調性作出函數的圖象，并利用數形結合求解．