Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）求證：點(diǎn)A在PA為直徑的圓上；
（2）若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球，求此球的最大半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明PD⊥AD，可得點(diǎn)A在PA為直徑的圓上；
（2）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，利用等體積，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∴點(diǎn)A在PA為直徑的圓上；
（2）解：設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為R．
V_P-ABCD=

1

3

•S_ABCD•PD=

1

3

•a•a•a=

1

3

a³，
S_△PAD=S_△PDC=

1

2

a²，
S_△PAB=S_△PBC=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2，
S_ABCD=a²．
V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC，

1

3

a³=

1

3

R（S_△PAD+S_△PDC+S_△PAB+S_△PBC+S_ABCD），
∴

R

3

(2+

2

)a2=

1

3

a³，
∴R=（1-

2

2

）a，
∴球的最大半徑是（1-

2

2

）a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的性質(zhì)，考察體積的計(jì)算，考察學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．