Question

已知函數f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，a∈R．
（1）當a=1時，求在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，f（x）=lnx-

1

2

x²+x，f′（x）=

1

x

-x+1，從而求切線方程；
（2）先求函數f（x）=lnx-

1

2

ax²+x的定義域為（0，+∞）；再求導f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

；從而由導數的正負討論函數的單調性．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-

1

2

x²+x，
f′（x）=

1

x

-x+1，
故f′（1）=1-1+1=1，f（1）=0-

1

2

+1=

1

2

；
故在點（1，f（1））處的切線方程為
y=x-1+

1

2

；
即2x-2y-1=0．
（2）f（x）=lnx-

1

2

ax²+x的定義域為（0，+∞）；
f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

；
當a≤0時，-a≥0，f′（x）＞0；
故函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；
令

-ax2+x+1

x

=0得，
x=

1+ 1+4a

2a

；
故當0＜x＜

1+ 1+4a

2a

時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上是減函數．
當x∈（

1+ 1+4a

2a

，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用，同時考查了分類討論的思想應用，屬于中檔題．