Question

函數f（x）=sin2x-

3

cos2x（x∈R）的圖象為C，以下結論中：
①圖象C關于直線x=

11π

12

對稱；    
②圖象C關于點(

2π

3

，0)對稱；
③函數f（x）在區間(-

π

12

，

5π

12

)內是增函數；
④由y=2sin2x的圖象向右平移

π

3

個單位長度可以得到圖象C．
則正確的是

①②③

．（寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

分析：先將三角函數進行化簡，然后分別利用三角函數的圖形和性質去判斷．①將x=

11π

12

代入，比較是不是最值．②將點(

2π

3

，0)代入函數，滿足即為對稱中心．③利用函數的單調性去判斷區間．④通過平移對比兩個表達式是否為同一個表達式．

解答：解：函數f（x）=sin2x-

3

cos2x=2(

1

2

sin?2x-

3

2

cos?2x)=2sin?(2x-

π

3

)．
①當x=

11π

12

時，f(

11π

12

)=2sin?(2×

11π

12

-

π

3

)=2sin?

3π

2

=-2為最小值，所以x=

11π

12

是函數的一條對稱軸，所以①正確．
②當x=

2π

3

時，f(

2π

3

)=2sin?(2×

2π

3

-

π

3

)=2sin?π=0，所以圖象C關于點(

2π

3

，0)對稱，所以②正確．
③當-

π

12

＜x＜

5π

12

時，-

π

6

＜2x＜

5π

6

，-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，此時函數單調遞增，所以③正確．
④由y=2sin2x的圖象向右平移

π

3

個單位長度，得到y=2sin?2(x-

π

3

)=2sin?(2x-

2π

3

)，所以無法得到圖形C，所以④錯誤．所以正確的是①②③
故答案為：①②③．

點評：本題考查三角函數的圖象和性質，先利用輔助角公式將三角函數進行化簡，然后在研究相應的性質．