Question

已知m、a、n成等差數列，m、b、c、n成等比數列，其中m，n∈R₊，求證：2a≥b+c．

Answer 1

考點：等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：設出等比數列的公比q，由等差數列和等比數列的性質把m，n，a，b，c都用q表示，結合基本不等式證明結論．

解答： 證明：∵m、a、n成等差數列，∴2a=m+n，
∵m、b、c、n成等比數列，∴mn=bc，
設等比數列的公比為q，則

b

m

=q，m+n=

b

q

+cq=

b

q

+bq2，
當q=1時，2a=m+n=b+c；
當q≠1時，

2a

b+c

=

b q +bq2

b+bq

=

1 q +q2

1+q

=

1+q3

q+q2

=

1-q+q2

q

＞

2q-q

q

=1．
∴2a＞b+c．
綜上，2a≥b+c．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的性質，考查了數列不等式，是中檔題．